Fraktálok

Címkék: jelenségek

2007.02.20. 19:40

(Gondoltam itt is elsütöm a dolgot)

Elég rövid története van a fraktálokhoz fűződő viszonyomnak: nagyjából egy hetes. Előtörténete meg annyi, hogy megkaptam szeretett Nyúzomban (ez a TTK hallgatói hetilapja: Tétékás Nyúz) a Természet-tudomány-technika rovatot, aztán kellett bele szerválni cikket. Az első számba jobb híján egy olyan cikk került, ami lehetett volna sokkal jobb is, de hát első hét volt, és a hosszú vizsgaidőszak miatt nem voltam a legerélyesebb, úgyhogy zöld lámpát adtam a cikkírónak. Emiatt aztán össze kellett kapnom magam, és valami érdekeset kitalálni. Van a Pí című film, benne kabbalisztikával, meg aranyspirállal - igazából ötvözik benne a fraktálokat a kabbalisztikával, meg jó a zene, és így a film is nagyon tudományos misztika. Ez volt az ötletadó. Kerestem egy tanárt, aki evvel foglalkozik, és íme.

Alapvetés:

Ugye, ha egy földrajzos túrázni megy, nem egy tájat lát, hanem a földtörténet eredményét, a takarókat, kiemelkedett, vagy lezökkent rögöket, fluviális eróziót vagy eolikus denudációt. És még ez sem az igazi: ezek valójában többnyire fraktálalakzatok.

Részletezés:

A természet legtöbb formája fraktálmintát mutat – ezektől merőben eltér az emberi környezet, ami tele van euklideszi formával: hasáb, gúla, gömb, oszlop, kocka. Egy felhő viszont azon túl, hogy csirkecomb, sör vagy istennő alakú, többnyire formátlannak tartott, pedig nem az. A matematikusok nagyjából száz éve foglalkoznak az önhasonló formákkal, a természettudósok körülbelül 25 éve, B. Mandelbrotot követve. (van vele interjú az index.hu-n, katt ide)

Az emberi környezet tehát könnyen leírható, vele szemben a természet a szabálytalannak tűnő formáival. Ezen komplikált alakzatok geometriájának megvannak a saját törvényei. Többségük önhasonló, ami azt jelenti, hogy egy kis részletük közelről nézve olyan, mint az egész objektum. Bonyolult verzió: annyival közelebbről nézve, amennyivel kisebb a forma az egésznél. Például egy fát nézve, az ága statisztikai értelemben olyan, amilyen az egész fa [...ha annyival közelebbről nézzük, amennyivel kisebb az ág a fánál] Erről Vicsek tanár úrnak van egy jó képe, de én is készítettem ni:

 

 

A tipikus fraktálok önhasonlók, ez az egyszerűbb formáknál nem működik, például egy 8-ast nézve. Ha közelebbről nézzük, a forma egy kanyarulattá vagy egy iksszé „válik”. A különbség a fraktálok és az euklideszi testek közt a dimenziójukban rejlik. Ha egy vonalat nézünk, ami egységekből áll, és a vonal méretét megduplázzuk, kétszer annyi egységből fog állni. A vonal két dimenziós. Ha egy három dimenziós tárgyat, mondjuk egy gömböt nézünk, és méretét megduplázzuk (sugarát), akkor nyolcszor több egységből fog állni. Viszont ha egy fraktál méretét növeljük a kétszeresére, akkor nem úgy fog viselkedni, mint egy vonal, de nem is úgy, mint egy gömb. [Itt érdemes abba belegondolni, hogy egy óvodás fa gömb lombkoronájú, viszont ezt a gömbök ágak (vonalak) építik fel. Tehát kicsit vonalként, kicsit gömbként viselkedik]

Egészen pontosan erről van szó:

A közönséges objektumokban lévő részecskék száma a kiterjedésük egész számú hatványával nő, ennek a hatványnak az értéke 1, 2 vagy 3 (ez a dimenziójuk). A fraktálok kiterjedése viszont nem egész számú, hanem tört számú (latinul fractio) hatvánnyal nő, aminek értéke 1 és 3 között van. Fraktálok esetén ezt a számot fraktáldimenziónak nevezzük.

Ezt viszont mindenki érteni fogja:

A fraktálok nagyon sok fontos dologban jelen vannak. Az ember érrendszere fraktálgeometriájú, akárcsak az idegsejtjeink alakja. Ez utóbbiak még működésükben is fraktál tulajdonságúak, ugyanis az aktivitásuk időbeli változását grafikonra rajzolva fraktált kapunk. A természetben legtipikusabbak a felhők, a hőingadozások, az örvények mintái, de ilyen egy csigaház „alaprajza” is.

A Pí című filmben Maximilan Cohenre egy brókernő száll rá, hogy tárja fel a tőzsde kulcsát, a képletet, amivel meg lehet jósolni az árfolyamokat. Ez a fraktálok egyik legizgalmasabb vonatkozása, ugyanis a tőzsdei változások grafikonábrázolása is fraktálgörbét rajzol ki. A tőzsdei görbe egyértékű függvény, nem differenciálható. Amint sikerül az eltérések jellegét számszerűsíteni, elkészíthető a filmbéli kulcs. Egyelőre azonban csak speciális összefüggéseket lehet felállítani.

A tőzsdei árfolyamváltozásokat az emberi tevékenységek okozzák – ez nem jelenti azonban azt, hogy az emberi cselekvések is fraktálgeometriájúak, hiszen evvel a mondattal már éreztettük is a problémát. [hozzáteszem, hogy ezt azért írtam bele a cikkbe, mert azon kezdtem gondolkodni, hogy ha a tőzsde ingadozása fraktálgeometriájú, akkor a történelem is az, mert azt is az emberek idézik elő. Ez egyébként nem is hülyeség, csak nincs az az ember (meg képlet), ami számokba fordítaná a történelmet. Számok nélkül nincs fraktál] A fraktálok geometriai formák, és csak térbeli jelenségeket – bár egy-két esetben időbelieket is – lehet velük leírni, számok kellenek hozzá. Az ember biológiai tevékenységét nézve már más a helyzet: két szívverés közt eltelt idő nem azonos: 0,8 másodperces eltéréseket produkál; az eltérés ingadozása fraktálgörbét rajzol ki.

A fraktálalakzatoknak mechanikai haszna is van. Ismerős példa lehet a gekkó „tapadókorongos keze”, ami miatt tud mászni a falon. Valójában nem tapadókorongok, hanem fraktálmintás „szöszök” fedik az ujjait, amik a szintén fraktálmintás felületbe bele tudnak illeszkedni. Ezek olyan mikroszkopikus méretek, hogy szabad szemmel nem látható – az üvegről sem hinné az ember, hogy fraktálmintás, pedig az. Akárcsak az aszfalt, vagy a beton. Ennek ismeretében egy autógumi gyártó cég [elég ismert, nem is tudnám, ha a tanár nem szólta volna el magát, de mondta, hogy inkább nem mondott semmit - háhá, de jó bennfentesnek lenni :) ] azon kísérletezik, hogy „gekkógumit” tudjon előállítani, amivel a verseny-, vagy sima autók úttartása tökéletes lenne.

Vicsek Tamás, a Biológiai fizika tanszék oktatója – mint a fraktálok kutatója homályosított föl a fraktálok mibenlétéről és érdekességeiről. Ennek a cikknek a forrása ezen a webcímen olvasható: http://www.kfki.hu/fszemle/archivum/fsz0506/vicsek0506.html, ami Vicsek Tamás Fizikai szemlében publikált írása.

A bejegyzés trackback címe:

https://pityutanarur.blog.hu/api/trackback/id/tr538370

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Nincsenek hozzászólások.